Os dois lados congruentes de um triângulo isósceles formam um ângulo de 120°. A base desse triângulo mede 10 cm. Nessas condições, determine o perímetro do triângulo. Que estratégia poderia ser usada para calcular sua área com as medidas que você calculou?
Um ângulo agudo θ é tal que sen(θ) = 0,6, cos(θ) = 0,8. O valor de cot(θ) é?
Um grande auditório tem diversas filas de poltronas, dispostas em ordem crescente de quantidade, a partir do palco, formando uma PA. A primeira fila tem 13 assentos, enquanto a última fila tem 167 assentos. Considerando que a capacidade máxima deste auditório é de 2070 pessoas (todas sentadas), determine:
a) A quantidade de filas neste auditório.
b) A razão de aumento nas quantidades de poltronas em cada fila.
c) Manuella comprou um ingresso para a poltrona 512. Considerando que os assentos são numerados de 1 a 13 para a primeira fila, terminando no assento 2070 na última fila, diga: em qual fila Manuella estará sentada?
Uma escada é apoiada no chão diante de um muro de 3 m de altura, perpendicular ao solo. A escada forma um ângulo de 60° no solo. Determine o comprimento da escada, considerando \(\sqrt{2} = 1,41\) e \(\sqrt{3} = 1,73\).
❶ - Uma estratégia é usar a Lei dos Senos, obtendo \(\dfrac{10}{\sin (120°)} = \dfrac{x}{\sin{30°}} \Rightarrow x = \dfrac{10 \sqrt{3}}{3}\), o perímetro é, então \(\dfrac{30 + 20\sqrt{3}}{3}\) cm. Sabendo a medida de todos os lados, pode-se utilizar a fórmula de Herão para determinar a área. ❷ - Sabendo que \(\cot(\theta) = \dfrac{1}{\tan(\theta)}\), podemos escrever isso como \(\cot(\theta) = \dfrac{1}{\dfrac{\sin (\theta)}{\cos(\theta)}} = \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\), isso nos dá \(\cot(\theta) = \dfrac{0,8}{0,6} = \dfrac{4}{3}\) ❸ - a) Podemos usar a fórmula da soma dos termos da PA \(S_{n} = \dfrac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n\). Substituindo os valores que temos e resolvendo, obtemos \(n = 23\), que é o número de filas. b) Podemos usar a nova informação e a fórmula do termo geral \(a_{n} = a_{1} + (n-1) \cdot r\), conseguimos isolar \(r\), obtendo \(r = 7\). c) veja a seção a seguir ❹ - \(\sin(60°) = \dfrac{CO}{H} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{x} \Rightarrow x = 2\sqrt{3} = 3,46\) m.
Considerando os primeiros termos da PA:
| Fila | Número de Assentos (Na fila) | Número de Assentos (Total) |
|---|---|---|
| 1 | 13 | 13 |
| 2 | 20 | 33 |
| 3 | 27 | 60 |
| 4 | 34 | 94 |
| 5 | 41 | 135 |
O processo se repete até a fila 23. Ao chegarmos próximo à fila 10, temos:
| Fila | Número de Assentos (Na fila) | Número de Assentos (Total) |
|---|---|---|
| 9 | 69 | 369 |
| 10 | 76 | 445 |
| 11 | 83 | 528 |
Veja que o assento 512 estará próximo ao final da fila 11, que é a fila em que Manuella estará.